Geometry, arithmetic and dynamics of discrete groups (in Russian, IUM & MIPT & HSE), Spring 2021

January 6, 2021   

English description

Here is the page of my course “Geometry, arithmetic and dynamics of discrete groups” (in Russian) for the 3rd–5th year students or PhD students of IUM, MIPT, and HSE. The course is conducted online via Zoom.

Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп

Аннотация

Современные исследования в области геометрии, топологии и дискретных групп часто сочетают в себе арифметические, геометрические и динамические методы. Курс в основном посвящен гиперболическим мноогообразиям и орбифолдам, но также будут обсуждаться и общие вопросы про дискретные подгруппы групп Ли и арифметические группы. Особый интерес представляет теория Винберга гиперболических групп отражений, доставляющая очень интересные примеры и методы их использования в различных целях. В конце курса предполагается обзор недавних результатов, опубликованных или принятых к печати в ведущих математических журналах мира, а также обсуждение открытых проблем и гипотез, как недавно поставленных, так и с 30-40 летней историей.

Организация курса

Страница курса на сайте НМУ: https://ium.mccme.ru/s21/s21-Bogachev.html

Страница курса на сайте Лаборатории комбинаторных и геометрических структур в МФТИ: https://combgeo.org/events-ru/bogachev-course/

Лекции

Основная составляющая курса - лекции. Лекции будут проходить онлайн в Zoom:

Идент. конф.: 986 2594 4049 Пароль — порядок группы S_6.

Первая лекция состоится во вторник 9 февраля в 17:30. Лекция 23 февраля не состоится.

Discussion meetings / office hours

Помимо лекций примерно раз в 3 недели будем проводить что-то вроде informal discussion meetings или office hours. Тоже по вторникам, но в 11:00 по МСК. К каждой такой встрече заранее предлагается листок с задачами для обсуждения, но помимо этого возможно и какое-то иное неформальное обсуждение как лекций курса, так и математики в целом.

  1. 09.03.2021. Листок 1.

  2. TBA.

Лекции

  1. 09.02.2021. Введение (общая картина: что изучаем?). Элементы общей и алгебраической топологии: топологические многообразия и конструкции, гомотопии, фундаментальные группы, накрытия.

  2. 16.02.2021. Риманова геометрия: гладкие многообразия, группы Ли, римановы многообразия, симметрические однородные пространства, пространства постоянной секционной кривизны, пространство Лобачевского H^n.

  3. 02.03.2021. Еще немного римановой геометрии (изометричные отображения римановых многообразий, вполне геодезические подмногообразия, римановы многообразия с краем) и геометрии Лобачевского (метрики и метрические тензоры в разных моделях, геодезические, компактификация, изометрии и классификация изометрий: эллиптические, параболические и локсодромические/гиперболические движения)

  4. 09.03.2021. Действия групп гомеоморфизмами, элементы теории групп, геометрическая теория групп, дискретные группы преобразований, дискретные группы движений и дискретные подгруппы групп Ли: вполне разрывные действия групп, дискретные подгруппы топологических групп, конечно порожденные и конечно представимые группы, свободность от кручения и лемма Сельберга (без док-ва), свободные группы, разрешимые группы, альтернатива Титса (без док-ва), пинг-понг лемма (без док-ва), мера Хаара на локально компактной группе, решетки в группах Ли (дискретные подгруппы конечного кообъема по мере Хаара), фундаментальная область для дискретной группы преобразований и примеры.

  5. 16.03.2021. Мера Хаара на классических группах GL(n,R), группа строго верхнетреугольных матриц, PSL(2,R), и т.д. Решетки (дискретные подгруппы конечного кообъема по мере Хаара) в группах Ли и простейшие свойства решеток. Конечность объема фундаментальной области для решетки и компактность фундаментальной области для равномерной решетки. Область Дирихле. Фундаментальная область как обобщенный выпуклый многогранник. Равенство объемов фундаментальных областей.

  6. 23.03.2021. Классификация изометрий пространства Лобачевского: эллиптические, параболические и локсодромические движения. Предельное множество (the limit set) и его свойства. Каспы фундаментальных многогранников. Каспы поверхностей и многообразий. Идея доказательства пинг-понг леммы и группы Шоттки. Метод Пуанкаре.

  7. 30.03.2021. Гиперболические поверхности - примеры. Геометризация поверхностей. Модулярная группа Клейна. Группы отражений. Эллиптические и параболические группы отражений. Теория Винберга гиперболических групп отражений. Многогранники Кокстера и схемы Кокстера. Критерии конечности объема и компактности для гиперболических многогранников Кокстера. Отсутсвие компактных многогранников Кокстера пространствах Лобачевского высокой размерности. Дискретные группы евклидовых изометрий. Теорема Бибербаха. Аффинные плоские многообразия и их фундаментальные группы. Гипотеза Ауслендера. Наличие свободных подгрупп в решетках в PO(n,1).

  8. 06.04.2021. Основные концепции геометрической теории групп: графы Кэли, квази-изометрии, фундаментальная лемма геометрической теории групп (лемма Шварца – Милнора), гиперболичность по Громову. Деформации поверхностей: прямоугольные 6-угольники, гиперболические штаны, pants decomposition of surfaces, пространства модулей, пространства Тайхмюллера, mapping class groups. Формулировки теорем жесткости - Мостов, Маргулис, Прасад.

  9. 13.04.2021. Доказательство теоремы жесткости Мостова, часть 1: поднятие гладкой гомотопии до псевдоизометрии, продолжение до гомеоморфизма шара, квази-конформность и дифференцируемость на границе.

  10. 20.04.2021. Доказательство теоремы жесткости Мостова, часть 2: динамика и эргодическая теория, эргодичность геодезических потоков на гиперболических многообразиях, Howe — Moore theorem, эргодичность действия группы, конформность на границе = изометричность.

  11. 27.04.2021. Теория чисел: теория Галуа, квадратичные формы, кватернионные алгебры. Алгебраические k-группы: k-группы, простые и полупростые k-группы, максимальные k-торы, классификация Титса полупростых групп. Арифметические и квазиарифметические группы. Теоремы Маргулиса. Три типа арифметических решеток в группе Ли PO(n,1).

  12. 04.05.2021. Теория Винберга гиперболических групп отражений. Критерий арифметичности. Конечность числа и классификация максимальных арифметических групп отражений в пространствах Лобачевского: известные результаты и открытые проблемы.

  13. 11.05.2021. Неарифметические многообразия Громова и Пятецкого-Шапиро. Доказательство их неквазиарифметичности. Квазиарифметические многообразия Агола, Белолипецкого, Томсона. Неарифметические группы отражений типа Громова — Пятецкого-Шапиро (Винберг, 2014).

  14. 18.05.2021. Вполне геодезические подпространства гиперболических орбифолдов. Идея доказательства недавно полученного (2018-2021) критерия арифметичности: гиперболический орбифолд арифметичен тогда и только тогда, когда он содержит бесконечно много вполне геодезических подорбифолдов.

Примерная программа курса

  1. Предварительные сведения. Топология. Алгебраическая топология. Гомотопии, накрытия, фундаментальные группы. Примеры.

  2. Предварительные сведения. Гладкие многообразия над R и C. Алгебраические многообразия над произвольным полем k. Примеры.

  3. Предварительные сведения. Группы Ли над R и C. Простые и полупростые группы. Системы корней. Схемы Дынкина.

  4. Предварительные сведения. Алгебраические k-группы, где k — поле алгебраических чисел или R и C.

  5. Симметрические однородные пространства. Пространства постоянной секционной кривизны: пространство Евклида E^n, n-мерная сфера S^n, (гиперболическое) пространство Лобачевского H^n.

  6. Мера Хаара на группе. Дискретные подгруппы групп Ли. Решетки в группах Ли. Простейшие свойства решеток. Примеры. Формулировка теоремы о сильной жесткости (Мостов, Прасад, Маргулис, Рагунатан) решеток в полупростых группах Ли.

  7. Дискретные группы преобразований. Фундаментальная область дискретной группы преобразований. Обобщенные выпуклые фундаментальные многогранники (область Ди- рихле). Метод Пуанкаре.

  8. Гиперболические многообразия и орбифолды. Динамическое доказательство теоремы жесткости Мостова для кокомпактных дискретных подгрупп (свободных от кручения) в группе Ли Isom(H^n) = PO(n,1).

  9. Арифметические и квазиарифметические дискретные группы. Гипотеза Сельберга и Пятецкого-Шапиро (1960 год). Формулировки классических результатов: теорема Бореля — Хариш-Чандры, супержесткость Маргулиса, знаменитая теорема Маргулиса (1974 год) об арифметичности решеток в полупростых группах Ли вещественного ранга > 1, доказавшая гипотезу Сельберга и Пятецкого-Шапиро.

  10. Теория Винберга (1967 год) гиперболических групп отражений (обзор). Многогранники и схемы Кокстера. Арифметические группы отражений и критерий арифметичности Винберга. Отсутствие многогранников Кокстера в высоких размерностях. Конечность чис- ла арифметических групп отражений. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.

  11. (**) Неарифметические гиперболические многообразия Громова — Пятецкого-Шапиро (1986 год). Квазиарифметические многообразия Агола — Белолипецкого — Томсона (2010). Неарифметические группы отражений типа Громова — Пятецкого-Шапиро (Винберг, 2014). Примеры.

  12. (**) Арифметика гиперболических многообразий и орбифолдов. Вполне геодези- ческие подпространства гиперболических орбифолдов. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.



comments powered by Disqus