English description

Here is the page of my course “Hyperbolic geometry and Lobachevsky spaces” (in Russian) for the 2nd–5th year students or PhD students of ASU and MIPT and math departments of other universities of Russia. The course is conducted online via Zoom.

Program/Syllabus

1. Introduction (important role of hyperbolic geometry) and preliminaries (smooth manifolds).

2. Riemannian manifolds. Vector model of hyperbolic Lobachevsky space.

3. Isometric models of $\HH^n$: vector model, the Klein ball model (projective) $K^n$, the Poincare ball model $B^n$, the upper halfspace model $U^n$. Geodesics and planes in hyperbolic space. Horospheres and horoballs. Convex polyhedra. Classification of hyperbolic isometries: elliptic, parabolic, loxodromic elements.

4. Discrete groups of motions. Fundamental polyhedra. Hyperbolic surfaces, orbifolds and manifolds.

5. Geometrization of surfaces. Cusps.

6. The Mostow rigidity.

Гиперболическая геометрия и пространства Лобачевского

Аннотация

Открытие неевклидовой геометрии стало одним из величайших научных открытий 19 века. В данном курсе мы расскажем про геометрию пространств Лобачевского, про то, как там устроены движения и такие геометрические объекты, как прямые, плоскости и многогранники. Помимо этого мы обсудим устройство гиперболических многообразий — полных римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны. Эти многообразия накрываются пространством Лобачевского, в котором фундаментальная группа действует изометриями и дискретным образом.

Курс предназначен для студентов 2-3 курсов и старше.

Организация курса

Основная составляющая курса - лекции. Лекции будут проходить онлайн в Zoom.

Лекции

1. Краткое введение про евклидову и неевклидову геометрии. Что такое геометрия? Эрлангенская программа Кляйна. Основания теории групп. Понятия гладкого многообразия, гладкого отображения.

   • Youtube
   • Слайды

2. Понятия римановой метрики, метрического пространства. Геодезические в римановых многообразиях. Движения/изометрии. Примеры: евклидово пространство R^d, сфера S^d. Векторная модель пространства Лобачевского H^d. Гиперболическая метрика. Плоскости и прямые (вполне геодезические подпространства). Полная группа изометрий пространства Лобаческого.

   • Youtube
   • Слайды

3. Проективная модель Клейна в шаре. Конформные модели Пуанкаре в шаре и в верхнем полупространстве. Изометричность разных моделей. Двумерная и трехмерная геометрии Лобачевского. Устройство геодезических и подпространств в разных моделях. Взаимное расположение подпространств. Полупространства. Многогранники в пространстве Лобачевского. Метрические соотношения в плоскости (теоремы синусов и косинусов, теорема Пифагора, угол параллельности). Орисферы, орициклы, оришары.

4. Примеры движений в пространстве Лобачевского в разных моделях — отражения, центральные симметрии, параболические повороты, гиперболический сдвиг вдоль геодезической. Теорема о классификации движений в пространстве Лобачевского — эллиптические, параболические и локсодромические изометрии.

5. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. Фундаментальные многогранники. Примеры групп и фундаментальных многогранников: модулярная группа PSL(2,Z), группы отражений, группы Шоттки, пинг-понг лемма.

6. Гиперболические поверхности, многообразия, орбифолды. Геометризация штанов. Каспы и каспидальные поверхности. Примеры.

---