English description

Here is the page of our special seminar “Geometries and Transformation Groups” (joint with Associate Professor A. Perepechko).

Геометрии и группы преобразований ²⁰¹⁹⁄₂₀₂₀, осень, 1-6 курсы

О семинаре и о странице

Здесь находится страница нашего спецсеминара (курса по выбору) “Геометрии и группы преобразований”, преподаваемого совместно с доц. А.Ю. Перепечко на Физтехе.

Семинар направлен на изучение объектов, обладающих алгебраической и геометрической структурой, что позволяет работать с ними на языках алгебры и геометрии. Семинар проходит в формате решения листочков с задачами. Все необходимые предварительные сведения будут озвучиваться в начале занятия. На семинаре вы сможете освоить аффинные и проективные пространства, познакомитесь с многогранниками в евклидовых и неевклидовых пространствах и узнаете, как они связаны с группами преобразований этих пространств. Дальнейшее развитие семинара предполагается в сторону дискретных подгрупп групп Ли и геометрической теории групп.

Основные материалы

Основными материалами служат листочки с задачами, а основными источниками являются книги Э.Б. Винберга [1], А.Л. Городенцева [2] и А.Б. Сосинского [3]. Первая книга написана на основе лекций, читаемых Э.Б. Винбергом в течение многих лет на Мехмате МГУ и в НМУ. Вторая книга написана на основе курса геометрии читаемого А.Л. Городенцевым в НМУ и ВШЭ. Третья книга написана на основе курсов, читаемых и читавшихся много лет А.Б. Сосинским в НМУ и в университетах США.

Материалы семинара прошлого учебного года ²⁰¹⁷⁄₁₈ (также как и материалы семинара уч. года ²⁰¹⁸⁄₁₉ для 2–6 курсов) можно найти здесь.

Время и место

Занятия проходят по вторникам (раз в 2 недели!) в 15:30 – 17:30 в ауд. 302 КПМ, начиная с 24 сентября. Семинар проходит почти параллельно с семинаром “Современная геометрия”, где основной руководитель - А.Ю. Перепечко.

Примерная программа семинара

Учебно-научная часть

1. Группы. (24.09.2019)

   • Листок с задачами. Группы.
   • См. главы 4 и 10 книги Э.Б. Винберга [1].

2. Многомерные аффинные и векторные пространства. (24.09.2019)

   • Листок с задачами. Многомерные аффинные и векторные пространства.
   • См. неформальное введение и главы 1,3,4,5,6 книги А.Л. Городенцева [2].
   • См. главы 1,2,5 книги Э.Б. Винберга [1].

3. Группы симметрий. (08.10.2019)

4. Аффинные преобразования. (08.10.2019)

   • Листок с задачами. Аффинные преобразования.
   • См. главу 2 книги А.Л. Городенцева [2].
   • См. главу 7, параграфы 7.1 и 7.2 книги Э.Б. Винберга [1].

5. Группы преобразований и группы движений.

6. Дискретные подгруппы группы изометрий плоскости.

7. Геометрия сферы.

8. Геометрия Лобачевского.

9. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны.

10. Дискретные группы отражений и многогранники Кокстера.

Научная часть (Геометрическая теория групп)

1. Алгебраические многообразия. Дифференцируемые многообразия.

2. Алгебраические группы и группы Ли.

3. Дискретные подгруппы групп Ли.

4. Гиперболические многообразия.

5. Теорема Бибербаха. Гипотеза Ауслендера.

6. Арифметические дискретные подгруппы.

7. Теоремы жесткости Мостова и Маргулиса.

Литература

[1] Э.Б. Винберг. “Курс алгебры”.

[2] А.Л. Городенцев. “Геометрия”.

[3] А.Б. Сосинский. “Геометрии”. МЦНМО, 2017.