English description

Here is the page of my course “Geometry in Computer Science”, which I’m reading (in Russian, jointly with Alexander Perepechko) for the 3rd year students of the Department of Innovation and High Technology at MIPT.

Геометрия в компьютерных приложениях

Здесь находится страница курса “Геометрия в компьютерных приложениях”, читаемого мною (совместно с А.Ю. Перепечко) для студентов 3-го курса ФИВТ МФТИ. Материалы лекций доступны ниже. Оценка за семестр складывается из:

1. Лабораторные работы. Предстоит несколько лабораторных работ. Подробная информация ниже.
2. Две (?) теоретических контрольных работы, в октябре и в ноябре. В вопросах контрольных могут присутствовать задания написать формулировки определений или теорем, а также задачи теоретического характера.

Более точные баллы за указанные пункты и формула для получения оценки будут объявлены в конце семестра.

Основным источником материалов являются слайды и конспекты лекций, а также книга американского профессора Keenan Crane. Вот ссылка на страницу его курса со слайдами лекций и упражнениями.

Лекции

Лектор: Богачев Н.В.

Лекция 1. 01.09.2021. Введение. Что такое диискретная дифференциальная геометрия? Дифференциальная геометрия vs. дискретная (комбинаторная) геометрия. Кривизна поверхности. Дискретная кривизна.

• Слайды

Лекция 2. 08.09.2021. Геометрия пространственных кривых и поверхностей. Кривизна и кручение пространственной кривой. Репер Френе. Поверхности. Касательное пространство. Дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Риманова метрика (I квадратичная форма).

• Слайды

Лекция 3. 15.09.2021. Основы топологии. Абстрактные гладкие многообразия. Примеры. Римановы многообразия. Поверхности, как гладкие многообразия.

• Слайды

Лекция 4. 22.09.2021. Геометрия пространственных кривых и поверхностей. Кривизна и кручение пространственной кривой. Риманова метрика (I квадратичная форма). Оператор формы. II квадратичная форма. Главные кривизны и направления. Теорема Менье. Экстремальные нормальные кривизны.

• Слайды
• Видео

Лекция 5. 29.09.2021. Гладкие многообразия с краем. Симплициальные комплексы. Дискретные (симплициальные) поверхности.

• Manifolds with boundary
• Дискретные поверхности
• Видео

Лекция 6. 13.10.2021. Внешние и дифференциальные формы. Двойственный базис пространства линейных функционалов. Внешнее умножение. Мономы. Звезда Ходжа. Дифференциал функции - частный случай дифференциальной формы (дифференциальная 1-форма). Диффернциальные формы на многообразиях. Дифференцирование и интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса.

• Слайды
• Видео

Семинары

Преподаватель: Перепечко А.Ю.

Программа курса (черновая версия).

1. Кривые на плоскости и в пространстве. Натуральная параметризация. Кривизна. Кручение. Формулы Френе.
2. Дискретизация. Какая дискретизация считается хорошей? Дискретные кривые. Дискретная кривизна плоской кривой: соприкасающаяся окружность, угол вращения, вариация длин, формула Штейнера.
3. Поверхности. Кривые на поверхностях. Касательное пространство. Первая квадратичная форма.

4. Симплициальные многообразия.

   • Симплициальный комплекс: абстрактный и геометрический.
   • Симплициальное многообразие
   • Триангулированное многообразие
   • Ориентация
   • Двойственная сетка и полуребра

5. Гиперповерхности. Вторая квадратичная форма. Кривизны нормальных сечений. Теорема Менье. Формула Эйлера.

6. Главные кривизны и направления. Гауссова и средняя кривизны. Экстремальные свойства главных кривизн.

7. Топология. Метрические и топологические пространства. Непрерывные отображения. Компактные, связные, хаусдорфовы топологические пространства. Гомеоморфизмы. Связные компоненты.

8. Многообразия. Карты, атласы. Касательное пространство. Гладкие отображения гладких многообразий.

9. Многообразия. Гладкие отображения, их дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Погружение, вложение. Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы многообразий. Формулировки знаменитых теорем вложения (Уитни, Нэш).

10. Примеры многообразий. Стандартные пространства. Поверхности, заданные системой уравнений. Матричные группы. Проективное пространство. Касательное расслоение.

11. Линейные функционалы и внешние (кососимметрические) $k$-формы. Внешнее умножение мономов. Базис и размерность пространства внешних $k$-форм. Общее определение внешнего умножения внешних форм. Свойства. Звезда Ходжа.

12. Дифференциальные формы на многообразиях. Определения, примеры, свойства. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм. Точные и замкнутые формы. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях, теорема Стокса (без док-ва). Кодифференциал. Оператор Лапласа на пространстве дифференциальных форм.

13. Дискретные внешние формы

    • Дискретные внешние формы на поверхностях: 0-, 1- и 2-формы, дискретное умножение, дискретное дифференцирование, дискретная звезда Ходжа.
    • Лапласиан и его дискретизация через внешние формы

14. Дискретные кривизны

    • Кривизны гладких поверхностей: определения и основные теоремы (без доказательств).
    • Дискретная гауссова кривизна и теорема Гаусса-Бонне
    • Нормаль к поверхности и средняя кривизна

15. Лапласиан

    • Лапласиан на римановых многообразиях
    • Собственные значения и собственные функции Лапласиана

16. Дискретный Лапласиан

    • Дискретизация Лапласиана через собственные функции
    • Сглаживание и деформация

Лабораторные

Список литературы

[1] Keenan Crane — Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction, 2017.

[2] A.I. Bobenko, P. Schröder, J.M. Sullivan, G. Ziegler (ed.) — Discrete Differential Geometry, 2008.

[3] В.И. Арнольд — Математические методы классической механики, 2017, Москва, URSS, 5-е изд.

[4] В.И. Богачев, О.Г. Смолянов — Действительный и функциональный анализ: университетский курс, 2-е изд., М-Ижевск, 2011.

[5] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Лекции по классической дифференциальной геометрии, 2009, Москва, Логос.

[6] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Дифференциальная геометрия и топология, 2011, Москва.

---