Geometry in Computer Science (in Russian), Fall 2020

September 8, 2020    gcs20f

English description

Here is the page of my course “Geometry in Computer Science”, which I’m reading (in Russian, jointly with Alexander Perepechko) for the 3rd year students of the Department of Innovation and High Technology at MIPT. The course is conducted online via Zoom.

Геометрия в компьютерных приложениях

Здесь находится страница курса “Геометрия в компьютерных приложениях”, читаемого мною (совместно с А.Ю. Перепечко) для студентов 3-го курса ФИВТ МФТИ. Материалы лекций доступны ниже. Оценка за семестр складывается из:

  1. Лабораторные работы. Предстоит несколько лабораторных работ. Подробная информация ниже.
  2. Две теоретических контрольных работы, в октябре и в ноябре. В вопросах контрольных могут присутствовать задания написать формулировки определений или теорем, а также задачи теоретического характера.

Более точные баллы за указанные пункты и формула для получения оценки будут объявлены в конце семестра.

Основным источником материалов являются слайды и конспекты лекций, а также книга американского профессора Keenan Crane. Вот ссылка на страницу его курса со слайдами лекций и упражнениями.

Курс проводится онлайн через Zoom.

Лекции

Лектор: Богачев Н.В.

Лекция 1. 02.09.2020. Введение. Что такое диискретная дифференциальная геометрия? Дифференциальная геометрия vs. дискретная (комбинаторная) геометрия. Геометрия плоских кривых. Длина кривой. Натуральная параметризация. Касательная и кривизна кривой. Дискретизация. Какая дискретизация считается хорошей?

Лекция 2. 09.09.2020. Геометрия пространственных кривых и поверхностей. Кривизна и кручение пространственной кривой. Репер Френе. Поверхности. Касательное пространство. Дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Риманова метрика (I квадратичная форма).

Лекция 3. 16.09.2020. Топология и гладкие поверхности. Топология. Карты, атласы. Гладкие многообразия. Гладкие поверхности. Примеры. Касательное пространство. Риманова метрика (I квадратичная форма). Отображения Гаусса и Вайнгартена. Нормальная кривизна. Главные кривизны. Оператор формы. Гауссова и средняя кривизны.

Лекция 4. 23.09.2020. Повторение.

Лекция 5. 30.09.2020. Дискретные поверхности.

Лекция 6. 07.10.2020. Повторение и план курса в целом. Взаимосвязи.

Лекция 7. 14.10.2020. I и II квадратичные формы. Оператор формы. Кривизна нормального сечения. Главные кривизны. Теорема Менье. Формула Эйлера. Экстремальные значения нормальных кривизн.

Лекция 8. 21.10.2020. Внешние формы. Внешнее умножение. Базис пространства k-форм. Звезда Ходжа. Дифференциальные формы на многообразиях. Дифференциал k-форм.

Лекция 9. 28.10.2020. Дифференциальные формы. Интеграл. Теорема Стокса.

Лекция 10. 04.11.2020. КОЛЛОКВИУМ.

Лекция 11. 11.11.2020. КОЛЛОКВИУМ.

Лекция 12. 18.11.2020. Дифференциальные формы. Интеграл. Теорема Стокса и ее следствия. Скалярное произведение на пространстве дифференциальных форм. Обобщенный оператор Лапласа - де Рама.

Лекция 13. 25.11.2020.

  • Часть 1: доказательство теоремы про свойства Лапласиана

  • Часть 2: дискретные внешние формы

  • Часть 3: дискретный Лапласиан и его приложения, сглаживание и деформация.

Программа I коллоквиума (04.11 - 11.11.2020)

  1. Гладкие регулярные кривые в R^2 и R^3. Натуральный параметр. Кривизна кривой. Радиус кривизны. Репер Френе. Кручение кривой. Геометрический смысл кривизны и кручения кривых.

  2. Гладкие регулярные поверхности, заданные регулярным отображением. Касательное пространство и канонический базис. Матрица Якоби и дифференциал.

  3. I квадратичная форма поверхности. Длины кривых и углы между ними. Оператор формы. II квадратичная форма.

  4. Нормальные кривизны. Теорема Менье. Главные кривизны и главные направления. Теорема об экстремальных значениях нормальных кривизн.

  5. Элементы общей топологии. Гомеоморфизмы. Карты. Атласы. Гладкие n-мерные многообразия. Многообразия с краем. Размерность края.

  6. Симплициальный (геометрический) комплекс. Дискретные поверхности. Ориентация на сетке. Двойственная сетка.

Семинары

Преподаватель: Перепечко А.Ю.

  1. Плоские кривые. Кривизна. Дискретные кривые.

  2. Плоские и пространственные кривые.

  3. Все еще кривые…

Программа курса (черновая версия).

  1. Кривые на плоскости и в пространстве. Натуральная параметризация. Кривизна. Кручение. Формулы Френе.
  2. Дискретизация. Какая дискретизация считается хорошей? Дискретные кривые. Дискретная кривизна плоской кривой: соприкасающаяся окружность, угол вращения, вариация длин, формула Штейнера.
  3. Поверхности. Кривые на поверхностях. Касательное пространство. Первая квадратичная форма.

  4. Симплициальные многообразия.

    • Симплициальный комплекс: абстрактный и геометрический.
    • Симплициальное многообразие
    • Триангулированное многообразие
    • Ориентация
    • Двойственная сетка и полуребра

  5. Гиперповерхности. Вторая квадратичная форма. Кривизны нормальных сечений. Теорема Менье. Формула Эйлера.

  6. Главные кривизны и направления. Гауссова и средняя кривизны. Экстремальные свойства главных кривизн.

  7. Топология. Метрические и топологические пространства. Непрерывные отображения. Компактные, связные, хаусдорфовы топологические пространства. Гомеоморфизмы. Связные компоненты.

  8. Многообразия. Карты, атласы. Касательное пространство. Гладкие отображения гладких многообразий.

  9. Многообразия. Гладкие отображения, их дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Погружение, вложение. Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы многообразий. Формулировки знаменитых теорем вложения (Уитни, Нэш).

  10. Примеры многообразий. Стандартные пространства. Поверхности, заданные системой уравнений. Матричные группы. Проективное пространство. Касательное расслоение.

  11. Линейные функционалы и внешние (кососимметрические) $k$-формы. Внешнее умножение мономов. Базис и размерность пространства внешних $k$-форм. Общее определение внешнего умножения внешних форм. Свойства. Звезда Ходжа.

  12. Дифференциальные формы на многообразиях. Определения, примеры, свойства. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм. Точные и замкнутые формы. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях, теорема Стокса (без док-ва). Кодифференциал. Оператор Лапласа на пространстве дифференциальных форм.

  13. Дискретные внешние формы

    • Дискретные внешние формы на поверхностях: 0-, 1- и 2-формы, дискретное умножение, дискретное дифференцирование, дискретная звезда Ходжа.
    • Лапласиан и его дискретизация через внешние формы

  14. Дискретные кривизны

    • Кривизны гладких поверхностей: определения и основные теоремы (без доказательств).
    • Дискретная гауссова кривизна и теорема Гаусса-Бонне
    • Нормаль к поверхности и средняя кривизна

  15. Лапласиан

    • Лапласиан на римановых многообразиях
    • Собственные значения и собственные функции Лапласиана

  16. Дискретный Лапласиан

    • Дискретизация Лапласиана через собственные функции
    • Сглаживание и деформация

Лабораторные

Список литературы

[1] Keenan Crane — Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction, 2017.

[2] A.I. Bobenko, P. Schröder, J.M. Sullivan, G. Ziegler (ed.) — Discrete Differential Geometry, 2008.

[3] В.И. Арнольд — Математические методы классической механики, 2017, Москва, URSS, 5-е изд.

[4] В.И. Богачев, О.Г. Смолянов — Действительный и функциональный анализ: университетский курс, 2-е изд., М-Ижевск, 2011.

[5] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Лекции по классической дифференциальной геометрии, 2009, Москва, Логос.

[6] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Дифференциальная геометрия и топология, 2011, Москва.

Related Posts
September 1, 2021
Geometry in Computer Science (in Russian), Fall 2021
comments powered by Disqus