English description

Here is the page of my course “Geometry, arithmetic and dynamics of discrete groups” (in Russian) for the 3rd–5th year students or PhD students of IUM, MIPT, and HSE. The course is conducted online via Zoom.

Abstract/Overview

Modern research directions in geometry, topology and discrete groups often combine geometrical, arithmetical and dynamical methods. This course is mostly devoted to hyperbolic manifolds and orbifolds, but also discrete subgroups of Lie groups and arithmetic groups are discussed. Vinberg’s theory of hyperbolic reflection groups is of special interest in the framework of this course. This theory provides a lot of interesting examples and methods which turn out to be useful for different purposes. In the end of the course we discuss recent results published or accepted for publication in top mathematical journals, as well as some open problems both recently posed and with a long (30-40 years and more) history.

Prerequisities

Group theory, differential geometry, introduction to topology, foundations of Riemannian geometry.

Program/Syllabus

1. Introduction (general picture: what are we studying?). Elements of general and algebraic topology: topological manifolds and constructions, homotopies, fundamental groups, coverings.

2. Riemannian geometry: smooth manifolds, Lie groups, Riemannian manifolds, symmetric homogeneous spaces, spaces of constant sectional curvature, hyperbolic Lobachevsky space $\HH^n$.

3. A bit more of Riemannian geometry (isometric mappings of Riemannian manifolds, totally geodesic submanifolds, Riemannian manifolds with boundary). Hyperbolic geometry (metrics and metric tensors in different models, geodesics, compactification, isometries and classification of isometries: elliptic, parabolic and loxodromic/hyperbolic motions).

4. Group actions by homeomorphisms, elements of group theory, geometric group theory, discrete transformation groups, discrete isometry groups, and discrete subgroups of Lie groups: properly discontinuous group actions, discrete subgroups of topological groups, finitely generated and finitely presented groups, torsion-free groups, and the Selberg lemma (without proof), free groups, solvable groups, the Tits alternative (without proof), ping-pong lemma, Haar measure on a locally compact group, lattices in Lie groups (discrete subgroups of finite covolume with respect to the Haar measure), a fundamental domain for a discrete transformation group, and examples.

5. The Haar measure on the classical groups: $\GL_n(\R)$, the group of strictly upper triangular matrices, $\mathbf{PSL}_2(\R)$, etc. Lattices (discrete subgroups of finite covolume with respect to Haar measure) in Lie groups and basic properties of lattices. The volume finiteness of a fundamental domain for a lattice and compactness of a fundamental domain for a uniform lattice. The Dirichlet domain. Fundamental domain as a generalized convex polyhedron. Equality of volumes of fundamental domains.

6. Proof of the classification of isometries in hyperbolic space: elliptic, parabolic and loxodromic motions. The limit set and its properties. Cusps of fundamental polyhedra. Cusps of surfaces and manifolds. The idea behind the proof of the ping-pong lemma, and the Schottky group. The Poincare method.

7. Hyperbolic surfaces: examples. Geometrization of surfaces. Modular group. Reflection groups. Elliptic and parabolic reflection groups. Vinberg’s theory of hyperbolic reflection groups. Coxeter polyhedra and Coxeter — Vinberg diagrams. Finiteness and compactness criteria for hyperbolic Coxeter polyhedra. Absence of compact Coxeter polytopes in high-dimensional Lobachevsky spaces. Discrete groups of Euclidean isometries. Bieberbach’s theorem. Affine flat manifolds and their fundamental groups. The Auslander conjecture. The presence of free subgroups in lattices in $\PO_{n,1}(\R)$.

8. Basic concepts of geometric group theory: Cayley graphs, quasi-isometries, fundamental lemma of geometric group theory (the Schwarz – Milnor lemma), Gromov hyperbolicity. Surface deformations: rectangular hexagons, hyperbolic pairs pf pants, pants decomposition of surfaces, moduli spaces, Teichmüller spaces, mapping class groups. Formulations of rigidity theorems: Mostov, Margulis, Prasad.

9. Proof of the Mostov rigidity theorem, part 1: lifting a smooth homotopy to pseudo-isometry, extension to a ball homeomorphism, quasi-conformality and differentiability on the ideal boundary.

10. Proof of the Mostow rigidity theorem, part 2: dynamics and ergodic theory, ergodicity of geodesic flows on hyperbolic manifolds, the Howe — Moore ergodicity theorem, ergodicity of group actions, conformal map on the ideal boundary = hyperbolic isometry, two approaches to completing the proof of the Mostow rigidity.

11. Number theory: the Galois theory. Algebraic k-groups. Arithmetic and quasi-arithmetic groups. The famous theorems of Margulis. Three types of arithmetic lattices in the Lie group $\PO_{n,1}(\R)$.

12. Algebraic k-groups: k-groups, simple and semisimple k-groups, maximal k-tori, Tits classification of semisimple groups. Three types of arithmetic lattices in the Lie group $\PO_{n,1}(\R)$: quadratic forms, quaternion algebras and triality. Vinberg’s theory of hyperbolic reflection groups. Vinberg’s arithmeticity criterion. Finiteness and classification of maximal arithmetic reflection groups in Lobachevsky spaces: known results and open problems.

13. The continuation of Lecture 12: algebraic groups, the Dynkin diagrams and the Tits classification, as well as type II arithmetic hyperbolic lattices defined using quaternion algebras.

14. Arithmetic subgroups in $\mathbf{PSL}_2(\R)$ and $\mathbf{PSL}_2(\CC)$. Non-arithmetic manifolds constructed by Gromov and Pyatetsky–Shapiro. Quasi-arithmetic manifolds of Agol, Belolipetsky, Thomson. Totally geodesic subspaces of hyperbolic orbifolds. The idea behind the proof of the recently obtained (2018–2021) arithmeticity criterion: a hyperbolic orbifold is arithmetic if and only if it contains infinitely many totally geodesic suborbifolds.

Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп

Аннотация

Современные исследования в области геометрии, топологии и дискретных групп часто сочетают в себе арифметические, геометрические и динамические методы. Курс в основном посвящен гиперболическим мноогообразиям и орбифолдам, но также будут обсуждаться и общие вопросы про дискретные подгруппы групп Ли и арифметические группы. Особый интерес представляет теория Винберга гиперболических групп отражений, доставляющая очень интересные примеры и методы их использования в различных целях. В конце курса предполагается обзор недавних результатов, опубликованных или принятых к печати в ведущих математических журналах мира, а также обсуждение открытых проблем и гипотез, как недавно поставленных, так и с 30-40 летней историей.

Организация курса

Страница курса на сайте НМУ: https://ium.mccme.ru/s21/s21-Bogachev.html

Страница курса на сайте Лаборатории комбинаторных и геометрических структур в МФТИ: https://combgeo.org/events-ru/bogachev-course/

Лекции

Основная составляющая курса - лекции. Лекции будут проходить онлайн в Zoom:

Идент. конф.: 986 2594 4049 Пароль — порядок группы S_6.

Первая лекция состоится во вторник 9 февраля в 17:30. Лекция 23 февраля не состоится.

Discussion meetings / office hours

Помимо лекций примерно раз в 3 недели будем проводить что-то вроде informal discussion meetings или office hours. Тоже по вторникам, но в 11:00 по МСК. К каждой такой встрече заранее предлагается листок с задачами для обсуждения, но помимо этого возможно и какое-то иное неформальное обсуждение как лекций курса, так и математики в целом.

1. 09.03.2021. Листок 1.

2. TBA.

Лекции

1. 09.02.2021. Введение (общая картина: что изучаем?). Элементы общей и алгебраической топологии: топологические многообразия и конструкции, гомотопии, фундаментальные группы, накрытия.

   • Слайды/конспекты: Lec1.pdf
   • Видео

2. 16.02.2021. Риманова геометрия: гладкие многообразия, группы Ли, римановы многообразия, симметрические однородные пространства, пространства постоянной секционной кривизны, пространство Лобачевского H^n.

   • Слайды/конспекты: Lec2.pdf
   • Видео

3. 02.03.2021. Еще немного римановой геометрии (изометричные отображения римановых многообразий, вполне геодезические подмногообразия, римановы многообразия с краем) и геометрии Лобачевского (метрики и метрические тензоры в разных моделях, геодезические, компактификация, изометрии и классификация изометрий: эллиптические, параболические и локсодромические/гиперболические движения)

   • Слайды/конспекты: Lec3.pdf
   • Видео

4. 09.03.2021. Действия групп гомеоморфизмами, элементы теории групп, геометрическая теория групп, дискретные группы преобразований, дискретные группы движений и дискретные подгруппы групп Ли: вполне разрывные действия групп, дискретные подгруппы топологических групп, конечно порожденные и конечно представимые группы, свободность от кручения и лемма Сельберга (без док-ва), свободные группы, разрешимые группы, альтернатива Титса (без док-ва), пинг-понг лемма (без док-ва), мера Хаара на локально компактной группе, решетки в группах Ли (дискретные подгруппы конечного кообъема по мере Хаара), фундаментальная область для дискретной группы преобразований и примеры.

   • Слайды/конспекты: Lec4.pdf
   • Видео

5. 16.03.2021. Мера Хаара на классических группах GL(n,R), группа строго верхнетреугольных матриц, PSL(2,R), и т.д. Решетки (дискретные подгруппы конечного кообъема по мере Хаара) в группах Ли и простейшие свойства решеток. Конечность объема фундаментальной области для решетки и компактность фундаментальной области для равномерной решетки. Область Дирихле. Фундаментальная область как обобщенный выпуклый многогранник. Равенство объемов фундаментальных областей.

   • Слайды/конспекты: Lec5.pdf
   • Видео

6. 23.03.2021. Классификация изометрий пространства Лобачевского: эллиптические, параболические и локсодромические движения. Предельное множество (the limit set) и его свойства. Каспы фундаментальных многогранников. Каспы поверхностей и многообразий. Идея доказательства пинг-понг леммы и группы Шоттки. Метод Пуанкаре.

   • Слайды/конспекты: Lec6.pdf
   • Видео

7. 30.03.2021. Гиперболические поверхности - примеры. Геометризация поверхностей. Модулярная группа Клейна. Группы отражений. Эллиптические и параболические группы отражений. Теория Винберга гиперболических групп отражений. Многогранники Кокстера и схемы Кокстера. Критерии конечности объема и компактности для гиперболических многогранников Кокстера. Отсутсвие компактных многогранников Кокстера пространствах Лобачевского высокой размерности. Дискретные группы евклидовых изометрий. Теорема Бибербаха. Аффинные плоские многообразия и их фундаментальные группы. Гипотеза Ауслендера. Наличие свободных подгрупп в решетках в PO(n,1).

   • Слайды/конспекты: Lec7.pdf
   • Видео

8. 06.04.2021. Основные концепции геометрической теории групп: графы Кэли, квази-изометрии, фундаментальная лемма геометрической теории групп (лемма Шварца – Милнора), гиперболичность по Громову. Деформации поверхностей: прямоугольные 6-угольники, гиперболические штаны, pants decomposition of surfaces, пространства модулей, пространства Тайхмюллера, mapping class groups. Формулировки теорем жесткости - Мостов, Маргулис, Прасад.

   • Слайды/конспекты: Lec8.pdf
   • Видео

9. 13.04.2021. Доказательство теоремы жесткости Мостова, часть 1: поднятие гладкой гомотопии до псевдоизометрии, продолжение до гомеоморфизма шара, квази-конформность и дифференцируемость на границе.

   • Слайды/конспекты: Lec9.pdf
   • Видео

10. 20.04.2021. Доказательство теоремы жесткости Мостова, часть 2: динамика и эргодическая теория, эргодичность геодезических потоков на гиперболических многообразиях, Howe — Moore ergodicity theorem, эргодичность действия группы, конформность на границе = изометричность, 2 подхода к завершению доказательства жесткости Мостова.

    • Слайды/конспекты: Lec10.pdf
    • Видео

11. 27.04.2021. Теория чисел: теория Галуа. Алгебраические k-группы. Арифметические и квазиарифметические группы. Знаменитые теоремы Маргулиса. Три типа арифметических решеток в группе Ли PO(n,1).

    • Слайды/конспекты: Lec11.pdf
    • Видео

12. 04.05.2021. Алгебраические k-группы: k-группы, простые и полупростые k-группы, максимальные k-торы, классификация Титса полупростых групп. Три типа арифметических решеток в группе Ли PO(n,1): квадратичные формы, кватернионные алгебры и триальность. Теория Винберга гиперболических групп отражений. Критерий арифметичности. Конечность числа и классификация максимальных арифметических групп отражений в пространствах Лобачевского: известные результаты и открытые проблемы.

    • Слайды/конспекты: Lec12.pdf
    • Видео
      

13. 11.05.2021. Продолжение лекции 12 - алгебраические группы, схемы Дынкина и классификация Титса, а также арифметические гиперболические решетки II типа, заданные с помощью кватернионных алгебр.

    • Слайды/конспекты: Lec13.pdf
    • Видео

14. 18.05.2021. Арифметические подгруппы в PSL(2,R) и PSL(2,C). Неарифметические многообразия Громова и Пятецкого-Шапиро. Квазиарифметические многообразия Агола, Белолипецкого, Томсона. Вполне геодезические подпространства гиперболических орбифолдов. Идея доказательства недавно полученного (2018-2021) критерия арифметичности: гиперболический орбифолд арифметичен тогда и только тогда, когда он содержит бесконечно много вполне геодезических подорбифолдов.

    • Слайды/конспекты: Lec14.pdf
    • Видео

Примерная программа курса (до начала курса)

1. Предварительные сведения. Топология. Алгебраическая топология. Гомотопии, накрытия, фундаментальные группы. Примеры.

2. Предварительные сведения. Гладкие многообразия над R и C. Алгебраические многообразия над произвольным полем k. Примеры.

3. Предварительные сведения. Группы Ли над R и C. Простые и полупростые группы. Системы корней. Схемы Дынкина.

4. Предварительные сведения. Алгебраические k-группы, где k — поле алгебраических чисел или R и C.

5. Симметрические однородные пространства. Пространства постоянной секционной кривизны: пространство Евклида E^n, n-мерная сфера S^n, (гиперболическое) пространство Лобачевского H^n.

6. Мера Хаара на группе. Дискретные подгруппы групп Ли. Решетки в группах Ли. Простейшие свойства решеток. Примеры. Формулировка теоремы о сильной жесткости (Мостов, Прасад, Маргулис, Рагунатан) решеток в полупростых группах Ли.

7. Дискретные группы преобразований. Фундаментальная область дискретной группы преобразований. Обобщенные выпуклые фундаментальные многогранники (область Дирихле). Метод Пуанкаре.

8. Гиперболические многообразия и орбифолды. Динамическое доказательство теоремы жесткости Мостова для кокомпактных дискретных подгрупп (свободных от кручения) в группе Ли Isom(H^n) = PO(n,1).

9. Арифметические и квазиарифметические дискретные группы. Гипотеза Сельберга и Пятецкого-Шапиро (1960 год). Формулировки классических результатов: теорема Бореля — Хариш-Чандры, супержесткость Маргулиса, знаменитая теорема Маргулиса (1974 год) об арифметичности решеток в полупростых группах Ли вещественного ранга > 1, доказавшая гипотезу Сельберга и Пятецкого-Шапиро.

10. Теория Винберга (1967 год) гиперболических групп отражений (обзор). Многогранники и схемы Кокстера. Арифметические группы отражений и критерий арифметичности Винберга. Отсутствие многогранников Кокстера в высоких размерностях. Конечность чис- ла арифметических групп отражений. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.

11. (**) Неарифметические гиперболические многообразия Громова — Пятецкого-Шапиро (1986 год). Квазиарифметические многообразия Агола — Белолипецкого — Томсона (2010). Неарифметические группы отражений типа Громова — Пятецкого-Шапиро (Винберг, 2014). Примеры.

12. (**) Арифметика гиперболических многообразий и орбифолдов. Вполне геодези- ческие подпространства гиперболических орбифолдов. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.

---