English description
Here is the page of my course “Differential geometry and topology” (in Russian) for the 2nd year students at MIPT. The course was conducted online via Zoom.
Prerequisities
Introduction to topology. Smooth surfaces. Smooth manifolds. Calculus on manifolds: differential forms, the Stokes theorem.
Program/Syllabus
Smooth manifolds with and without boundary.
Smooth maps between manifolds. Immersions, submersion, embeddings.
Critical and regular points and values. Sard’s Theorem.
The Whitney Embedding Theorem. The Whitney Approximation Theorem (without proof). Transversality.
Lie groups.
Fibre bundles. Vector bundles. Covers.
Differential forms and de Rham cohomology.
Degree of a map. Intersection index. Foundations of the Morse theory.
Metrics in bundles. Riemannian manifolds.
Covariant derivatives. Connections. Curvature.
Regular surfaces in $\R^d$. I and II fundamental forms. Gaussian curvature.
Hyperbolic (Lobachevsky) space $\HH^n$.
13*. Characteristic classes.
14*. The Gauss — Bonnet Theorem.
Дифференциальная геометрия и топология
Аннотация
Организация курса
Основная составляющая курса - лекции и семинары. Лекции будут проходить онлайн в Zoom.
Лекции и семинары
Неделя 1. (07.02.2022). Введение и предварительные сведения. Обсуждается, что такое геометрия, какие в ней изучаются структуры, какие есть общие подходы, упоминаются некоторые знаменитые результаты из геометрической топологии (теорема об униформизации, программа геометризации Терстона, теорема о гиперболизации, гипотеза Пуанкаре, и т.д.), а также идет разговор про место/роль геометрии и топологии в мире современной фундаментальной и прикладной математики. Во второй части даются предварительные сведения из анализа и введения в теорию гладких многообразий: теоремы об обратной и неявных функциях, дифференциал, гладкие отображения, гладкие подмногообразия в R^d, абстрактные гладкие многообразия с краем и без края. - Youtube - Слайды
Неделя 2. (14.02.2022). Многообразия с краем и ориентируемые многообразия. Касательное расслоение. Локальные свойства гладких отображений: регулярные и критические точки и значения. Формулировки теорем про топологические операции с гладкими многообразиями (приаттачивание по общему краю, дубль, связная сумма). Теорема Сарда. Теоремы Уитни о вложениях и погружениях (формулировки). - Youtube - Слайды
Неделя 3. (21.02.2022). Доказательство теоремы Сарда (завершение). Примеры регулярных точек и значений (ортогональная группа), вложений, погружений. Регулярные кривые и поверхности. - Youtube - Слайды
Неделя 4. (07.03.2022). Доказательство слабой теоремы Уитни о вложении и погружении для замкнутых многообразий. Нормальное расслоение. Тубулярная окрестность. Теорема Уитни об аппроксимации непрерывных отображений (без доказательства). Трансверсальность. - Youtube - Слайды
Неделя 5. (14.03.2022). Группы Ли. Линейные группы Ли. Касательная алгебра, экспоненциальное отображение, алгебры Ли. - Youtube - Слайды
Неделя 6. (21.03.2022). Группы и алгебры Ли II. Простые, полупростые, редуктивные группы и алгебры Ли. - Youtube - Слайды
Неделя 7. (28.03.2022). Тензорные произведения. Локально-тривиальные расслоения. Накрытия. Векторные поля. Векторные расслоения. Примеры. Операции с векторными расслоениями. - Youtube - Слайды
Неделя 8. (04.04.2022). Операции с расслоениями, тензоры, внешние формы. - Youtube - Слайды
Неделя 9. (11.04.2022). Симметрические и кососимметрические тензоры, алгебра Грассмана внешних форм, операции с расслоениями, дифференциальные формы. - Youtube - Слайды
Неделя 10. (18.04.2022). Дифференциальные формы. Внешний дифференциал. Точные и замкнутые формы. Когомологии де Рама. Числа Бетти. Гомотопическая инвариантность. - Youtube - Слайды
Неделя 11. (25.04.2022). Гомотопическая инвариантность когомологий де Рама. Лемма Пуанкаре. Точные последовательности. Последовательности Майера-Виеториса. Двойственность Пуанкаре. Примеры подсчета когомологий де Рама. - Youtube часть 1 - Youtube часть 2 - Слайды
Неделя 12. (03.05.2022). Степень отображения, гомотопическая инвариантность. Индекс векторного поля. Теорема Пуанкаре – Хопфа про равенство суммы индексов векторного поля и эйлеровой характеристики многообразия. - Youtube - Слайды
Неделя 13. Римановы метрики на расслоении. Существование метрики на любом расслоении. Примеры метрик на касательном расслоении. Регулярные поверхности в R^d. Первая квадратичная форма. Пространство Лобачевского (модель в верхней полуплоскости). Геодезические. Однородные пространства. Римановы пространства G/K. Дискретные группы изометрий. Неформальное введение в понятие кривизны. Пространства постоянной секционной кривизны. Связь геометрии и топологии. Теорема Гаусса - Бонне. - Youtube part 1 - Youtube part 2 - Youtube part 3 - Слайды
Неделя 14*. Ковариантная производная на расслоении (по Кошулю: ковариантная производная есть оператор с тождеством Лейбница). 1-форма связности и ее замена при замене тривиализации. Существование связности. Кривизна. Общее тождество Бианки. Зануление кривизны и равносильно тому, что связность калибровочно эквивалентна нулевой связности. Регулярные поверхности в R^d. Первая и вторая квадратичные формы, shape operator, нормальные кривизны, главные кривизны, гауссова кривизна.
Неделя 15*. Характеристические классы через формы кривизны. Классы Черна и Понтрягина. Класс Эйлера.
Неделя 16*. Доказательство обобщенной теоремы Гаусса-Боннэ. Ее 2-мерные аналоги/частные случаи.
Список литературы
- Винберг – Курс алгебры.
- Guillemin and Pollack – Differential Topology.
- Дубровин, Новиков и Фоменко – Современная геометрия (том 2: геометрия и топология многообразий).
- Lee – Introduction to Smooth Manifolds.
- Lee – Introduction to Riemannian Manifolds.
- Милнор и Уоллес – Дифференциальная топология.
- Милнор – Теория Морса.
- Милнор и Сташеф – Характерестические классы.
- Натанзон – Введение в теорию гладких многообразий.
- Новиков и Тайманов – Современные геометрические структуры и поля.
- Taubes – Differential Geometry (Bundles, Connections, Metrics and Curvature).