English description

Here is the page of my course “Geometry in Computer Science”, which I’m reading (in Russian) for $3^{rd}$ year students of the Department of Innovation and High Technology at MIPT.

Геометрия в компьютерных приложениях

Здесь находится страница курса “Геометрия в компьютерных приложениях”, читаемого мною для студентов 3-го курса ФИВТ МФТИ. Материалы лекций доступны ниже. Оценка за семестр складывается из:

1. Работа на семинарах. Задача, сданная на семинаре, стоит 1 балл. Задачи со звёздочкой стоят вдвое больше. Если задача была разобрана на семинаре, то с домашнего задания она снимается. На дом остаются все задачи, не сделанные или не разобранные на семинаре. Домашние задания собираются прямо перед семинаром, убираются со стола и больше не принимаются. Избранные задачи из ДЗ будем разбирать.
2. Лабораторные работы. Предстоит несколько лабораторных работ. Подробная информация ниже.
3. Теоретическая контрольная в ноябре. В вопросах контрольной могут присутствовать задания написать формулировки определений или теорем, а также задачи теоретического характера. Программа доступна ниже.

Более точные баллы за указанные пункты и формула для получения оценки будут объявлены в конце семестра.

Основным источником материалов являются слайды и конспекты лекций, а также книга американского профессора Keenan Crane. Вот ссылка на страницу его курса со слайдами лекций и упражнениями.

Программа курса (черновая версия).

1. Кривые на плоскости и в пространстве. Натуральная параметризация. Кривизна. Кручение. Формулы Френе.
2. Дискретизация. Какая дискретизация считается хорошей? Дискретные кривые. Дискретная кривизна плоской кривой: соприкасающаяся окружность, угол вращения, вариация длин, формула Штейнера.
3. Поверхности. Кривые на поверхностях. Касательное пространство. Первая квадратичная форма.

4. Симплициальные многообразия.

   • Симплициальный комплекс: абстрактный и геометрический.
   • Симплициальное многообразие
   • Триангулированное многообразие
   • Ориентация
   • Двойственная сетка и полуребра

5. Гиперповерхности. Вторая квадратичная форма. Кривизны нормальных сечений. Теорема Менье. Формула Эйлера.

6. Главные кривизны и направления. Гауссова и средняя кривизны. Экстремальные свойства главных кривизн.

7. Топология. Метрические и топологические пространства. Непрерывные отображения. Компактные, связные, хаусдорфовы топологические пространства. Гомеоморфизмы. Связные компоненты.

8. Многообразия. Карты, атласы. Касательное пространство. Гладкие отображения гладких многообразий.

9. Многообразия. Гладкие отображения, их дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Погружение, вложение. Гомеоморфизмы и диффеоморфизмы многообразий. Формулировки знаменитых теорем вложения (Уитни, Нэш).

10. Примеры многообразий. Стандартные пространства. Поверхности, заданные системой уравнений. Матричные группы. Проективное пространство. Касательное расслоение.

11. Линейные функционалы и внешние (кососимметрические) $k$-формы. Внешнее умножение мономов. Базис и размерность пространства внешних $k$-форм. Общее определение внешнего умножения внешних форм. Свойства. Звезда Ходжа.

12. Дифференциальные формы на многообразиях. Определения, примеры, свойства. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм. Точные и замкнутые формы. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях, теорема Стокса (без док-ва). Кодифференциал. Оператор Лапласа на пространстве дифференциальных форм.

13. Дискретные внешние формы

    • Дискретные внешние формы на поверхностях: 0-, 1- и 2-формы, дискретное умножение, дискретное дифференцирование, дискретная звезда Ходжа.
    • Лапласиан и его дискретизация через внешние формы

14. Дискретные кривизны

    • Кривизны гладких поверхностей: определения и основные теоремы (без доказательств).
    • Дискретная гауссова кривизна и теорема Гаусса-Бонне
    • Нормаль к поверхности и средняя кривизна

15. Лапласиан

    • Лапласиан на римановых многообразиях
    • Собственные значения и собственные функции Лапласиана

16. Дискретный Лапласиан

    • Дискретизация Лапласиана через собственные функции
    • Сглаживание и деформация

Программа лекционной контрольной 21 ноября.

1. Кривые на плоскости и в пространстве. Натуральная параметризация. Кривизна. Кручение. Формулы Френе.
2. Дискретные кривые. Дискретная кривизна плоской кривой: соприкасающаяся окружность, угол вращения, вариация длин, формула Штейнера.
3. Поверхности. Кривые на поверхностях. Касательное пространство. Первая квадратичная форма.
4. Симплициальные многообразия.

• Симплициальный комплекс: абстрактный и геометрический.
• Симплициальное многообразие
• Ориентация
• Двойственная сетка

1. Гиперповерхности. Вторая квадратичная форма. Кривизны нормальных сечений. Теорема Менье. Формула Эйлера.
2. Главные кривизны и направления. Гауссова и средняя кривизны. Экстремальные свойства главных кривизн.
3. Топология. Метрические и топологические пространства. Непрерывные отображения. Компактные, связные, хаусдорфовы топологические пространства. Гомеоморфизмы. Связные компоненты.
4. Многообразия. Карты, атласы. Касательное пространство. Гладкие отображения гладких многообразий. Гладкие отображения, их дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Примеры многообразий. Поверхности, заданные системой уравнений.
5. Многообразия с краем. Размерность, ориентируемость края. Примеры.
6. Линейные функционалы и внешние (кососимметрические) $k$-формы. Внешнее умножение мономов. Базис и размерность пространства внешних $k$-форм. Общее определение внешнего умножения внешних форм. Свойства. Звезда Ходжа.
7. Дифференциальные формы на многообразиях. Определения, примеры, свойства. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм. Точные и замкнутые формы. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях, теорема Стокса (без док-ва). Кодифференциал. Оператор Лапласа на пространстве дифференциальных форм.

Лекции

Лекция 1. 12.09.2019. Введение. Геометрия плоских кривых. Длина кривой. Натуральная параметризация. Касательная и кривизна кривой. Дискретизация. Какая дискретизация считается хорошей?

Лекция 2. 26.09.2019. Геометрия пространственных кривых и поверхностей. Кривизна и кручение пространственной кривой. Репер Френе. Поверхности. Касательное пространство. Дифференциал как линейное отображение касательных пространств. Риманова метрика (I квадратичная форма).

Лекция 3. 03.10.2019. Топология и гладкие поверхности. Топология. Карты, атласы. Гладкие многообразия. Гладкие поверхности. Примеры. Касательное пространство. Риманова метрика (I квадратичная форма). Отображения Гаусса и Вайнгартена. Нормальная кривизна. Главные кривизны. Оператор формы. Гауссова и средняя кривизны.

Лекция 4. 10.10.2019. (Частичное повторение.) Топология и гладкие поверхности. Топология. Карты, атласы. Гладкие многообразия. Гладкие поверхности. Примеры. Касательное пространство. Риманова метрика (I квадратичная форма). Отображения Гаусса и Вайнгартена. Нормальная кривизна. Главные кривизны. Оператор формы. II квадратичная форма. Гауссова и средняя кривизны.

Лекция 5. 17.10.2019. (Частичное повторение.) I и II квадратичная формы. Нормальные кривизны. Главные кривизны. Гауссова и средняя кривизны. Теорема Менье. Дискретные поверхности: симплексы, абстрактный и геометрический симплициальные комплексы, линк, звезда, симплициальные поверхности, ориентация, полуребра, двойственная сетка.

Лекция 6. 24.10.2019. Внешние и дифференциальные формы. Определение. Базис пространства форм. Базисные мономы. Умножение. Звезда Ходжа. Дифференциальные формы на многообразиях. Внешний дифференциал дифференциальных форм. Форма объема. Интегрирование. Многообразия с краем. Теорема Стокса.

Лекция 7. 31.10.2019. Дискретные внешние формы. Дискретный дифференциал, дискретное внешнее умножение, дискретная звезда Ходжа.

Лекция 8. 07.11.2019.

Лекция 9. 14.11.2019. Консультация.

Лекция 10. 21.11.2019. Теоретическая семестровая контрольная работа!

Семинары

Задача, сданная на семинаре, стоит 1 балл. Задачи со звёздочкой стоят вдвое больше. Если задача была разобрана на семинаре, то с домашнего задания она снимается. На дом остаются все задачи, не сделанные или не разобранные на семинаре. Домашние задания собираются прямо перед семинаром, убираются со стола и больше не принимаются. Избранные задачи из ДЗ будем разбирать.

Листок 1. Плоские кривые. Кривизна. Дискретные кривые.

Листок 2. Пространственные кривые. Поверхности. Риманова метрика.

Листок 3. Кривизны поверхностей.

Листок 4. Топология гладких многообразий и топология дискретных поверхностей.

Листок 5. (Это тот, который 6й, а на самом деле 5й.) Геометрия дискретных поверхностей.

Лабораторные

1. Поток кривизны плоской кривизны. Заготовка + задание. Дедлайн: 02.10.2019.

2. Сетки/дискретные поверхности. Заготовки решения + тесты + конкретные поверхности и сетки. Дедлайн: 07.11.2019

Список литературы

[1] Keenan Crane — Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction, 2017.

[2] A.I. Bobenko, P. Schröder, J.M. Sullivan, G. Ziegler (ed.) — Discrete Differential Geometry, 2008.

[3] В.И. Арнольд — Математические методы классической механики, 2017, Москва, URSS, 5-е изд.

[4] В.И. Богачев, О.Г. Смолянов — Действительный и функциональный анализ: университетский курс, 2-е изд., М-Ижевск, 2011.

[5] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Лекции по классической дифференциальной геометрии, 2009, Москва, Логос.

[6] А.О. Иванов, А.А. Тужилин — Дифференциальная геометрия и топология, 2011, Москва.

---